Примеры сложения и вычитания логарифмов. Логарифмическое уравнение: основные формулы и приемы

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b) , а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b) .

Часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов .

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

log a (x / y) = log a x – log a y

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Частный случай:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a:

  • Если a > 0, то f(x) > g(x) > 0
  • Если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как решать задачи с логарифмами: примеры

Задания с логарифмами включены в состав ЕГЭ по математике для 11 класса в задании 5 и задании 7, вы можете найти задания с решениями на нашем сайте в соответствующих разделах. Также задания с логарифмами встречаются в банке заданий по математике. Все примеры вы можете найти через поиск по сайту.

Что такое логарифм

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

Итак, перед нами степени двойки.

Логарифмы – свойства, формулы, как решать

Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь - собственно, определение логарифма:

по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Обозначение: log a x = b, где a - основание, x - аргумент, b - собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
log 2 2 = 1 log 2 4 = 2 log 2 8 = 3 log 2 16 = 4 log 2 32 = 5 log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм - это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
  3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

  3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ - без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точная степень;
35 = 7 · 5 - снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 - опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: lg x.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

от аргумента x - это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение: ln x.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e - основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Смотрите также:

Логарифм. Свойства логарифма (степень логарифма).

Как представить число в виде логарифма?

Используем определение логарифма.

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

Таким образом, чтобы представить некоторое число c в виде логарифма по основанию a, надо под знак логарифма поставить степень с тем же основанием, что и основание логарифма, а в показатель степени записать это число c:

В виде логарифма можно представить абсолютно любое число — положительное, отрицательное, целое, дробное, рациональное, иррациональное:

Чтобы в стрессовых условиях контрольной или экзамена не перепутать a и c, можно воспользоваться таким правилом для запоминания:

то, что внизу, идёт вниз, то, что вверху, идёт вверх.

Например, нужно представить число 2 в виде логарифма по основанию 3.

У нас есть два числа — 2 и 3. Эти числа — основание и показатель степени, которую мы запишем под знак логарифма. Остаётся определить, которое из этих чисел нужно записать вниз, в основание степени, а которое — вверх, в показатель.

Основание 3 в записи логарифма стоит внизу, значит, когда мы будем представлять двойку в виде логарифма по основанию 3, 3 также запишем вниз, в основание.

2 стоит выше тройки. И в записи степени двойку запишем выше тройки, то есть, в показатель степени:

Логарифмы. Начальный уровень.

Логарифмы

Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a > 0, a ≠ 1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b .

Определение логарифма можно кратко записать так:

Это равенство справедливо при b > 0, a > 0, a ≠ 1. Его обычно называют логарифмическим тождеством.
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм частного от деления:

Замена основания логарифма:

Логарифм степени:

Логарифм корня:

Логарифм со степенным основанием:





Десятичные и натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут   lg b
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e , где e — иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b .

Другие заметки по алгебре и геометрии

Основные свойства логарифмов

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. log a x + log a y = log a (x · y);
  2. log a x − log a y = log a (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Log 6 4 + log 6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм.

Как решать логарифмы

Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log 7 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log a x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию.

В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log 25 64 = log 5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. log a a = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
  2. log a 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

основными свойствами .

  1. logax + logay = loga (x · y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

одинаковые основания

Log6 4 + log6 9.

Теперь немного усложним задачу.

Примеры решения логарифмов

Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Найдите значение выражения:

Переход к новому основанию

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

Задача. Найдите значение выражения:

Смотрите также:


Основные свойства логарифма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.



Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого.

Основные свойства логарифмов

Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.


Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

2.

3.

4. где .



Пример 2. Найти х, если


Пример 3. Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если




Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. logax + logay = loga (x · y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
  2. loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

2.
По свойству разницы логарифмов имеем

3.
Используя свойства 3,5 находим

4. где .

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к виду

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, если

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойства

Подставляем в запись и скорбим

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения

Логарифмы. Начальный уровень.

Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемых


На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки — полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме — логарифмические неравенства …

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. logax + logay = loga (x · y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм.

Как решать логарифмы

Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
  2. loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Этим видео я начинаю длинную серию уроков про логарифмические уравнения. Сейчас перед вами сразу три примера, на основе которых мы будем учиться решать самые простые задачи, которые так и называются — простейшие .

log 0,5 (3x − 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Напомню, что простейшим логарифмическим уравнением называется следующее:

log a f (x ) = b

При этом важно, чтобы переменная х присутствует только внутри аргумента, т. е. только в функции f (x ). А числа а и b являются именно числами, а ни в коем случае не функциями, содержащими переменную х.

Основные методы решения

Существует множество способов решения таких конструкций. Например, большинство учителей в школе предлагают такой способ: Сразу выразить функцию f (x ) по формуле f (x ) = a b . Т. е. когда вы встречаете простейшую конструкцию, сразу без дополнительных действий и построений можете перейти к решению.

Да, безусловно, решение получится правильным. Однако проблема этой формулы состоит в том, что большинство учеников не понимают , откуда она берется и почему именно букву а мы возводим в букву b .

В результате я часто наблюдаю очень обидные ошибки, когда, например, эти буквы меняются местами. Данную формулу нужно либо понять, либо зубрить, причем второй способ приводит к ошибкам в самые неподходящие и самые ответственные моменты: на экзаменах, контрольных и т. д.

Именно поэтому всем своим ученикам я предлагаю отказаться от стандартной школьной формулы и использовать для решения логарифмических уравнений второй подход, который, как вы уже наверняка догадались из названия, называется канонической формой .

Идея канонической формы проста. Давайте еще раз посмотрим на нашу задачу: слева у нас есть log a , при этом под буквой a имеется в виду именно число, а ни в коем случае не функция, содержащая переменную х. Следовательно, на эту букву распространяются все ограничения, которые накладываются на основание логарифма. а именно:

1 ≠ a > 0

С другой стороны, из того же самого уравнения мы видим, что логарифм должен быть равен числу b , и вот на эту букву никаких ограничений не накладывается, потому что он может принимать любые значения — как положительные, так и отрицательные. Все зависит от того, какие значения принимает функция f (x ).

И вот тут мы вспоминаем наше замечательное правило, что любое число b может быть представлено в виде логарифма по основанию а от а в степени b :

b = log a a b

Как запомнить эту формулу? Да очень просто. Давайте запишем следующую конструкцию:

b = b · 1 = b · log a a

Разумеется, что при этом возникают все ограничения, которые мы записали вначале. А теперь давайте воспользуемся основным свойством логарифма, и внесем множитель b в качестве степени а. Получим:

b = b · 1 = b · log a a = log a a b

В результате исходное уравнение перепишется в следующем виде:

log a f (x ) = log a a b → f (x ) = a b

Вот и все. Новая функция уже не содержит логарифма и решается стандартными алгебраическими приемами.

Конечно, кто-то сейчас возразит: а зачем вообще было придумывать какую-то каноническую формулу, зачем выполнять два дополнительных ненужных шага, если можно было сразу перейти от исходной конструкции к итоговой формуле? Да уже хотя бы затем, что большинство учеников не понимают, откуда берется эта формула и, как следствие, регулярно допускают ошибки при ее применении.

А вот такая последовательность действий, состоящая из трех шагов, позволяет вам решить исходное логарифмическое уравнение, даже если вы не понимаете, откуда берется та самая итоговая формула. Кстати, канонической формулой называется именно эта запись:

log a f (x ) = log a a b

Удобство канонической формы состоит еще и в том, что ее можно применять для решения очень широкого класса логарифмических уравнений, а не только простейших, которые мы рассматриваем сегодня.

Примеры решения

А теперь давайте рассмотрим реальные примеры. Итак, решаем:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Давайте перепишем его следующим образом:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Многие ученики торопятся и пытаются сразу возвести число 0,5 в степень, которая пришла к нам из исходной задачи. И действительно, когда вы уже хорошо натренируетесь в решении подобных задач, вы можете сразу выполнять этот шаг.

Однако если сейчас вы только приступаете к изучению этой темы, лучше никуда не торопиться, чтобы не допускать обидных ошибок. Итак, перед нами каноническая форма. Имеем:

3x − 1 = 0,5 −3

Это уже не логарифмическое уравнение, а линейное относительно переменной х. Чтобы решить его, давайте для начала разберемся с числом 0,5 в степени −3. Заметим, что 0,5 — это 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Переписываем и получаем:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Все, мы получили ответ. Первая задача решена.

Вторая задача

Переходим ко второй задаче:

Как видим, это уравнение уже не является простейшим. Уже хотя бы потому, что слева стоит разность, а не один-единственный логарифм по одному основанию.

Следовательно, нужно каким-то образом избавиться от этой разности. В данном случае все очень просто. Давайте внимательно посмотрим на основания: слева стоит число под корнем:

Общая рекомендация: во всех логарифмических уравнениях старайтесь избавиться от радикалов, т. е. от записей с корнями и переходить к степенным функциям, просто потому что показатели этих степеней легко выносятся за знак логарифма и в конечном счета такая запись существенно упрощает и ускоряет вычисления. Вот давайте так и запишем:

Теперь вспоминаем замечательное свойство логарифма: из аргумента, а также из основания можно выносить степени. В случае с основаниями происходит следующее:

log a k b = 1/k loga b

Другими словами, число, которое стояло в степени основания, выносится вперед и при этом переворачивается, т. е. становится обратным числом. В нашем случае стояла степень основания с показателем 1/2. Следовательно, мы можем вынести ее как 2/1. Получим:

5 · 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Обратите внимание: ни в коем случае нельзя избавляться от логарифмов на этом шаге. Вспомните математику 4—5 класса и порядок действий: сначала выполняется умножение, а лишь затем — сложение и вычитание. В данном случае мы из 10 элементов вычитаем один такой же:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Теперь наше уравнение выглядит как надо. Это простейшая конструкция, и мы решаем его с помощью канонической формы:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Вот и все. Вторая задача решена.

Третий пример

Переходим к третьей задаче:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Напомню следующую формулу:

lg b = log 10 b

Если вас по каким-либо причинам смущает запись lg b , то при выполнении всех вычислений вы можете записать просто log 10 b . С десятичными логарифмами можно работать так же, как и с другими: выносить степени, складывать и представлять любые числа в виде lg 10.

Вот именно этими свойствами мы сейчас и воспользуемся для решения задачи, поскольку она не является простейшей, которую мы записали в самом начале нашего урока.

Для начала заметим, что множитель 2, стоящий перед lg 5, может быть внесен и станет степенью основания 5. Кроме того, свободное слагаемое 3 также представимо в виде логарифма — это очень легко наблюдать из нашей записи.

Судите сами: любое число можно представить в виде log по основанию 10:

3 = log 10 10 3 = lg 10 3

Перепишем исходную задачу с учетом полученных изменений:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 · 25
lg (x − 3) = lg 25 000

Перед нами снова каноническая форма, причем мы получили ее, минуя стадию преобразований, т. е. простейшее логарифмическое уравнение у нас нигде не всплывало.

Именно об этом я и говорил в самом начале урока. Каноническая форма позволяет решать более широкий класс задач, нежели стандартная школьная формула, которую дают большинство школьных учителей.

Ну и все, избавляемся от знака десятичного логарифма, и получаем простую линейную конструкцию:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Все! Задача решена.

Замечание по поводу области определения

Тут бы хотелось привести важное замечание по поводу области определения. Наверняка сейчас найдутся ученики и учителя, которые скажут: «Когда мы решаем выражения с логарифмами, необходимо обязательно помнить, что аргумент f (x ) должен быть больше нуля!» В связи с этим возникает логичный вопрос: почему ни в одной из рассмотренных задач мы не требовали, чтобы это неравенство выполнялось?

Не переживайте. Никаких лишних корней в этих случаях не возникнет. И это еще одна замечательная хитрость, которая позволяет ускорить решение. Просто знайте, что если в задаче переменная х встречается лишь в одном месте (а точнее — в одном-единственном аргументе одного-единственного логарифма), и больше нигде в нашем случае нет переменной х, то записывать область определения не нужно , потому что она будет выполняться автоматически.

Судите сами: в первом уравнении мы получили, что 3х − 1, т. е. аргумент должен быть равен 8. Это автоматически означает, что 3х − 1 будет больше нуля.

С тем же успехом мы можем записать, что во втором случае х должен быть равен 5 2 , т. е. он заведомо больше нуля. А в третьем случае, где х + 3 = 25 000, т. е. опять же заведомо больше нуля. Другими словами, область определения выполняется автоматически, но только при условии, что х встречается лишь в аргументе лишь одного логарифма.

Вот и все, что нужно знать для решения простейших задач. Уже одно это правило вместе с правилами преобразования позволит вам решать очень широкий класс задач.

Но давайте будем честными: для того, чтобы окончательно разобраться с этим приемом, чтобы научиться применять каноническую форму логарифмического уравнения, недостаточно просто посмотреть один видеоурок. Поэтому прямо сейчас скачайте варианты для самостоятельного решения, которые прилагаются к данному видеоуроку и начните решать хотя бы одну из этих двух самостоятельных работ.

Времени у вас уйдет буквально несколько минут. А вот эффект от такого обучения будет намного выше по сравнению с тем, если бы вы просто просмотрели данный видеоурок.

Надеюсь, этот урок поможет разобраться вам с логарифмическими уравнениями. Применяйте каноническую форму, упрощайте выражения с помощью правил работы с логарифмами — и никакие задачи вам будут не страшны. А у меня на сегодня все.

Учет области определения

Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений. Рассмотрим конструкцию вида

log a f (x ) = b

Такое выражение называется простейшим — в нем лишь одна функция, а числа а и b — это именно числа, а ни в коем случае не функция, зависящая от переменной х. Решается оно очень просто. Достаточно лишь использовать формулу:

b = log a a b

Данная формула является одним из ключевых свойств логарифма, и при подстановке в наше исходное выражение мы получим следующее:

log a f (x ) = log a a b

f (x ) = a b

Это уже знакомая формула из школьных учебников. У многих учеников наверняка возникнет вопрос: поскольку в исходном выражении функция f (x ) стоит под знаком log, на нее накладываются следующие ограничения:

f (х) > 0

Это ограничение действует потому, что логарифм от отрицательных чисел не существует. Так, может быть, вследствие этого ограничения следует ввести проверку на ответы? Быть может, их нужно подставлять в исходник?

Нет, в простейших логарифмических уравнениях дополнительная проверка излишня. И вот почему. Взгляните на нашу итоговую формулу:

f (x ) = a b

Дело в том, что число а в любом случае больше 0 — это требование тоже накладывается логарифмом. Число а является основанием. При этом на число b никаких ограничений не накладывается. Но это и неважно, потому что в какую бы степень мы бы не возводили положительное число, на выходе мы все равно получим положительное число. Таким образом, требование f (х) > 0 выполняется автоматически.

Что действительно стоит проверять, так это область определения функции, стоящей под знаком log. Там могут встречаться довольно непростые конструкции, и в процессе решения за ними обязательно нужно следить. Давайте посмотрим.

Первая задача:

Первый шаг: преобразуем дробь справа. Получим:

Избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение:

Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Все, задача решена. Никаких дополнительных проверок того, что выражение под знаком логарифма больше 0, не требуется, потому что оно не просто больше 0, а по условию уравнения оно равно 2. Следовательно, требование «больше нуля», выполняется автоматически.

Переходим ко второй задаче:

Здесь все то же самое. Переписываем конструкцию, заменяя тройку:

Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение:

Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Решаем полученное уравнение через дискриминант:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Но x = −6 нас не устраивает, потому что если мы подставим это число в наше неравенство, то получим:

−6 + 4 = −2 < 0

В нашем же случае требуется, чтобы было больше, чем 0 или в крайнем случае равно. А вот x = −1 нам подходит:

−1 + 4 = 3 > 0

Единственным ответом в нашем случае будет x = −1. Вот и все решение. Давайте вернемся в самое начало наших вычислений.

Основной вывод из этого урока: проверять ограничения для функции в простейших логарифмических уравнениях не требуется. Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически.

Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах.

Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень.

Логарифмические уравнения с разными основаниями

Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции. Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи:

log a f (x ) = b

В этой записи а и b являются именно числами, а в функции f (x ) должна присутствовать переменная х, и только там, т. е. х должен находиться только в аргументе. Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы. Для этого заметим, что

b = log a a b

Причем a b — это именно аргумент. Давайте перепишем это выражение следующим образом:

log a f (x ) = log a a b

Мы именно этого и добиваемся, чтобы и слева, и справа стоял логарифм по основанию а. В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы:

f (x ) = a b

В результате мы получим новое выражение, которое будет решаться намного проще. Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам.

Итак, первая конструкция:

Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log. Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов:

Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием с. Разумеется, 0 < с ≠ 1.

Так вот: у этой формулы есть один замечательный частный случай, когда переменная с равна переменной b . В этом случае мы получим конструкцию вида:

Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении. Давайте заменим эту конструкцию на log a b , получим:

Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма. Взамен нам пришлось перевернуть дробь.

Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу:

Другими словами, коэффициент k , который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь. Давайте вынесем ее как перевернутую дробь:

Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму (ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит). Следовательно, давайте внесем дробь 1/4 в аргумент в виде степени:

Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые (а основания у нас действительно одинаковые), и записываем:

x + 5 = 1

x = −4

Вот и все. Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Обратите внимание: в исходной задаче переменная х встречается лишь в одном log, причем стоит в его аргументе. Следовательно, проверять область определения не требуется, и наше число х = −4 действительно является ответом.

Теперь переходим ко второму выражению:

lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)

Здесь помимо обычных логарифмов, нам придется работать с lg f (x ). Как решать такое уравнение? Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно.

Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log 2 7. Что мы можем о нем сказать? Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли. Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма:

log a b n = nlog a b

Другими словами, то, что являлось степенью при числе b в аргументе, становится множителем перед самим log. Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log 2 7. Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение. Можно переписать его следующим образом:

Для него справедливы все правила, которые действуют для любого другого логарифма. В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента. Давайте запишем:

Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого. На самом деле ничего криминального в этом нет. Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило:

Эту формулу можно рассматривать и как определение, и как одно из его свойств. В любом случае, если вы преобразуете логарифмическое уравнение, эту формулу вы должны знать точно так же, как и представление любого числа в виде log.

Возвращаемся к нашей задаче. Переписываем его с учетом того факта, что первое слагаемое справа от знака равенства будет равно просто lg 7. Имеем:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Давайте перенесем lg 7 влево, получим:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Вычитаем выражения слева, потому что они имеют одно и то же основание:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Теперь давайте внимательно посмотрим на уравнение, которое мы получили. Оно практически является канонической формой, однако справа присутствует множитель −3. Давайте внесем его в аргумент правого lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы вычеркиваем знаки lg и приравниваем аргументы:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Вот и все! Мы решили второе логарифмическое уравнение. При этом никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходной задаче х присутствовал лишь в одном аргументе.

Перечислю еще раз ключевые моменты этого урока.

Главная формула, которая изучается во всех уроках на этой странице, посвященной решению логарифмических уравнений — это каноническая форма. И пусть вас не пугает то, что в большинстве школьных учебников вас учат решать подобные задачи по-другому. Данный инструмент работает очень эффективно и позволяет решать гораздо более широкий класс задач, нежели простейшие, которые мы изучали в самом начале нашего урока.

Кроме того, для решения логарифмических уравнений полезно будет знать основные свойства. А именно:

  1. Формулу перехода к одному основанию и частный случай, когда мы переворачиваем log (это очень пригодилось нам в первой задаче);
  2. Формулу внесения и вынесения степеней из-под знака логарифма. Здесь многие ученики зависают и в упор не видят, что выносимая и вносимая степень сама может содержать log f (x ). Ничего страшного в этом нет. Мы можем вносить один log по знак другого и при этом существенно упрощать решение задачи, что мы и наблюдаем во втором случае.

В заключении хотел бы добавить, что проверять область определения в каждом из этих случае не требуется, потому что везде переменная х присутствует только в одном знаке log, и при этом находится в его аргументе. Как следствие, все требования области определения выполняются автоматически.

Задачи с переменным основанием

Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми. Речь идет об выражениях, в основании которых стоят не числа, а переменные и даже функции. Решать такие конструкции мы будем с помощью нашего стандартного приема, а именно через каноническую форму.

Для начала вспомним, как решаются простейшие задачи, в основании которых стоят обычные числа. Итак, простейшей называется конструкция вида

log a f (x ) = b

Для решения таких задач мы можем использовать следующую формулу:

b = log a a b

Переписываем наше исходное выражение и получаем:

log a f (x ) = log a a b

Затем мы приравниваем аргументы, т. е. записываем:

f (x ) = a b

Таким образом мы избавляемся от знака log и решаем уже обычную задачу. При этом полученные при решении корни и будут корнями исходного логарифмического уравнения. Кроме того, запись, когда и слева, и справа стоит по одному и тому же логарифму с одним и тем же основанием, как раз и называется канонической формой. Именно к такой записи мы будем пытаться свести сегодняшние конструкции. Итак, поехали.

Первая задача:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Заменяем 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Та степень, которую мы наблюдаем у аргумента, это, на самом деле то число b , которое стояло справа от знака равенства. Таким образом, перепишем наше выражение. Получим:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Что мы видим? Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы смело можем приравнять аргументы. Получим:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Но на этом решение не заканчивается, потому что данное уравнение не равносильно исходному. Ведь полученная конструкция состоит из функций, которые определены на всей числовой прямой, а наши исходные логарифмы определены не везде и не всегда.

Поэтому мы должны отдельно записать область определения. Давайте не будем мудрить и для начала запишем все требования:

Во-первых, аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Во-вторых, основание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1:

x − 2 ≠ 1

В итоге получим систему:

Но вы не пугайтесь: при обработке логарифмических уравнений такую систему можно существенно упростить.

Судите сами: с одной стороны, от нас требуется, чтобы квадратичная функция была больше нуля, а с другой стороны — эта квадратичная функция приравнивается к некому линейному выражению, от которого также требуется, чтобы оно было больше нуля.

В таком случае, если мы требуем, чтобы x − 2 > 0, то автоматически будет выполняться и требование 2x 2 − 13x + 18 > 0. Поэтому мы можем смело зачеркнуть неравенство, содержащее квадратичную функцию. Таким образом, количество выражений, которое содержится в нашей системе, уменьшится до трех.

Разумеется, с тем же успехом мы могли бы зачеркнуть и линейное неравенство, т. е. вычеркнуть x − 2 > 0 и потребовать, чтобы 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но согласитесь, что решить простейшее линейное неравенство гораздо быстрее и проще, чем квадратичное, пусть даже при условии, что в результате решения всей этой системы мы получим одни и те же корни.

В общем, по возможности старайтесь оптимизировать вычисления. И в случае с логарифмическими уравнениями вычеркивайте самые сложные неравенства.

Давайте перепишем нашу систему:

Вот такая система из трех выражений, с двумя из которых мы, по сути, уже разобрались. Давайте отдельно выпишем квадратное уравнение и решим его:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Перед нами приведенный квадратный трехчлен и, следовательно, мы можем воспользоваться формулами Виета. Получим:

(х − 5)(х − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

А теперь возвращаемся к нашей системе и обнаруживаем, что х = 2 нас не устраивает, потому что от нас требуется, чтобы х был строго больше, чем 2.

А вот х = 5 нас вполне устраивает: число 5 больше, чем 2, и при этом 5 не равно 3. Следовательно, единственным решением данной системы будет являться х = 5.

Все, задача решена, в т. ч. с учетом ОДЗ. Переходим ко второму уравнению. Здесь нас ждут более интересные и содержательные выкладки:

Первый шаг: как и в прошлый раз, приводим все это дело к канонической форме. Для этого число 9 мы можем записать следующим образом:

Основание с корнем можно не трогать, а вот аргумент лучше преобразовать. Давайте перейдем от корня в степень с рациональным показателем. Запишем:

Давайте я не буду переписывать все наше большое логарифмическое уравнение, а просто сразу приравняю аргументы:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами вновь приведенный квадратный трехчлен, воспользуемся формулами Виета и запишем:

(х + 3)(х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Итак, мы получили корни, но никто нам не гарантировал, что они подойдут к исходному логарифмическому уравнению. Ведь знаки log накладывают дополнительные ограничения (здесь мы должны были бы записать систему, но из-за громоздкости всей конструкции я решил посчитать область определения отдельно).

В первую очередь, вспоминаем, что аргументы должны быть больше 0, а именно:

Это и есть требования, накладываемые областью определения.

Сразу заметим, что поскольку мы приравниваем первые два выражения системы друг к другу, то любое из них мы можем вычеркнуть. Давайте вычеркнем первую, потому что она выглядит более угрожающе, нежели вторая.

Кроме того, заметим, что решением второго и третьего неравенства будут одни и те множества (куб какого-то числа больше нуля, если само это число больше нуля; аналогично и с корнем третьей степени — эти неравенства полностью аналогичны, поэтому одно из них мы можем вычеркнуть).

А вот с третьим неравенством такое не пройдет. Избавимся от знака радикала, стоящего слева, для чего возведем обе части в куб. Получим:

Итак, мы получаем следующие требования:

− 2 ≠ x > −3

Какой из наших корней:x 1 = −3 или x 2 = −1 отвечает этим требованиям? Очевидно, что только х = −1, потому что х = −3 не удовлетворяет первому неравенству (ибо неравенство у нас строгое). Итого возвращаясь к нашей задаче, мы получаем один корень: х = −1. Вот и все, задача решена.

Еще раз ключевые моменты данной задачи:

  1. Не стесняйтесь применять и решать логарифмические уравнения с помощью канонической формы. Ученики, которые делают такую запись, а не переходят напрямую от исходной задачи к конструкции типа log a f (x ) = b , допускают намного меньше ошибок, чем те, которые куда-то спешат, пропуская промежуточные шаги вычислений;
  2. Как только в логарифме появляется переменное основание, задача перестает быть простейшей. Следовательно, при его решении необходимо учитывать область определения: аргументы должны быть больше нуля, а основания — не только больше 0, но еще они не должны быть равны 1.

Накладывать последние требования на итоговые ответы можно по-разному. Например, можно решать целую систему, содержащую все требования к области определения. С другой стороны, можно сначала решить саму задачу, а затем вспомнить про область определения, отдельно проработать ее в виде системы и наложить на полученные корни.

Какой способ выбирать при решении конкретного логарифмического уравнения, решать только вам. В любом случае ответ получится один и тот же.

    Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.

    Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .

    Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .

    Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .

    К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .

    Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

    Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и .

    Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .

    Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

    Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

    Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

    Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

    Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .

    Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .

    Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

    Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .

    Вот пример использования этого свойства: .

    Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

    Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

    Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

    Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – . К примеру, .

    Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

    Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

    Докажем, что для любых положительных чисел b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенство log a b 1

    Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

    Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2 , то есть, a 1 ≥a 2 . Так мы пришли к противоречию условию a 1

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.

Виды логарифмов

  • log a b – логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
  • lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10);
  • ln b – натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e ).

Как решать логарифмы?

Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:

Для любых a ; a > 0; a ≠ 1 и для любых x ; y > 0.

  • a log a b = b – основное логарифмическое тождество
  • log a 1 = 0
  • log a a = 1
  • log a (x · y ) = log a x + log a y
  • log a x/ y = log a x – log a y
  • log a 1/x = -log a x
  • log a x p = p log a x
  • log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
  • log a x = log a c x c
  • log a x = log b x/ log b a – формула перехода к новому основанию
  • log a x = 1/log x a


Как решать логарифмы – пошаговая инструкция решения

  • Для начала запишите необходимое уравнение.

Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.


Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.

Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).

Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.

Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.



Поделитесь с друзьями или сохраните для себя:

Загрузка...