Перевод градусов в радианы и обратно, формулы, примеры. Тригонометрическая окружность. Исчерпывающее руководство (2019)

Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом "Пи", которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да...

Стандартные задания по тригонометрии с числом "Пи" решаются неплохо. Зрительная память выручает. А вот любое отклонение от шаблона - валит наповал! Чтобы не свалиться - понимать надо. Что мы с успехом сейчас и сделаем. В смысле - всё поймём!

Итак, в чём считаются углы? В школьном курсе тригонометрии используются две меры: градусная мера угла и радианная мера угла . Разберём эти меры. Без этого в тригонометрии - никуда.

Градусная мера угла.

К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили... Да и в жизни частенько встречаемся с фразой "повернул на 180 градусов", например. Градус, короче, штука простая...

Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то...

Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было... Веков 40 назад... И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус - это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее... Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?

Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак... Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно... Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя... В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926... раз.

Это и есть число "Пи". Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой - бесконечное число цифр без всякого порядка... Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в "Пи" раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

Где L - длина окружности, а d - её диаметр.

В геометрии пригодится.

Для общего образования добавлю, что число "Пи" сидит не только в геометрии... В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь... Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие - 360? И в каком варианте этих делителей нацело - больше? Людям такое деление очень удобно. Но...

Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся... Высшая математика - дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: "Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245... И что мне делать? Нет уж..." Пришлось послушаться. Природу не обманешь...

Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь - радиан!

Радианная мера угла.

Что такое радиан? В основе определения радиана - всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L ) равна длине радиуса (R ). Смотрим картинки.

Маленький такой угол, почти и нет его... Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан . L = R

Чувствуете разницу?

Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

Да! Этот хвостик - 0,1415926.... Здравствуй, число "Пи", мы тебя ещё не забыли!

Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926... радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926... неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

А вот в Интернете число

писать неудобно... Поэтому я в тексте пишу его по имени - "Пи". Не запутаетесь, поди?...

Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

Или точное равенство:

Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула - это тоже уравнение!) на 3,14:

Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

Но главное умение этой темы - перевод градусов в радианы и обратно.

Если угол задан в радианах с числом "Пи", всё очень просто. Мы знаем, что "Пи" радиан = 180°. Вот и подставляем вместо "Пи" радиан - 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле "Пи"/2 радиан ? Вот и пишем:

Или, более экзотическое выражение:

Легко, верно?

Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = "Пи" радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула - это тоже уравнение!) на 180. Представлять "Пи" как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:

Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

Или, аналогично:

Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы - это очень просто. Да и перевод без проблем... И "Пи" - вполне терпимая штука... Так откуда путаница!?

Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов - пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов . А значок радианов (рад ) - не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что... Но решили не писать. Если внутри синуса - котангенса нет никаких значков, то угол - в радианах ! Например, cos3 - это косинус трёх радианов .

Это и приводит к непоняткам... Человек видит "Пи" и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры - стандартные. Но "Пи" - это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это "Пи" радиан = 180°!

Ещё раз: "Пи" - это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно "Пи" шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить "Пи" килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся...

"Пи" - это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?

Или, что меньше?

Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать...

Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: "Пи" - это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол - в градусах ! Стало быть, заменять "Пи" на 180° - нельзя! "Пи" градусов - это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:

Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там - радианы ! Вот здесь замена "Пи" на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:

Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05° .

Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

Потренируемся в обращении с мерами угла.

Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

0

Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

Да! Это оси системы координат! Если смотреть по тригонометрическому кругу, то подвижная сторона угла при этих значениях точно попадает на оси . Эти значения нужно знать железно. И угол 0 градусов (0 радиан) я отметил не зря. А то некоторые этот угол никак на круге найти не могут... И, соответственно, в тригонометрических функциях нуля путаются... Другое дело, что положение подвижной стороны в нуле градусов совпадает с положением в 360°, так совпадения на круге - сплошь и рядом.

Во второй строчке - тоже углы специальные... Это 30°, 45° и 60°. И что в них такого специального? Особо - ничего. Единственное отличие этих углов от всех остальных - именно про эти углы вы должны знать всё . И где они располагаются, и какие у этих углов тригонометрические функции. Скажем, значение sin100° вы знать не обязаны. А sin45° - уж будьте любезны! Это обязательные знания, без которых в тригонометрии делать нечего... Но об этом подробнее - в следующем уроке.

А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Получилось? Тогда можно считать, что перевод градусов в радианы и обратно - уже не ваша проблема.) Но перевод углов - это первый шаг к постижению тригонометрии. Там же ещё с синусами-косинусами работать надо. Да и с тангенсами, котангенсами тоже...

Второй мощный шаг - это умение определять положение любого угла на тригонометрическом круге. И в градусах, и в радианах. Про это самое умение я буду вам во всей тригонометрии занудно намекать, да...) Если вы всё знаете (или думаете, что всё знаете) про тригонометрический круг, и отсчёт углов на тригонометрическом круге, можете провериться. Решите эти несложные задания:

1. В какую четверть попадают углы:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Легко? Продолжаем:

2. В какую четверть попадают углы:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Тоже без проблем? Ну, смотрите...)

3. Сможете разместить по четвертям углы:

Смогли? Ну вы даёте..)

4. На какие оси попадёт уголок:

и уголок:

Тоже легко? Хм...)

5. В какую четверть попадают углы:

И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю...)

6. Определить, в какую четверть попадают углы:

1, 2, 3 и 20 радианов.

Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

Если же вы абсолютно уверены в своих ответах и вас не интересуют простые и безотказные способы работы с радианами - можете не посещать 555. Не настаиваю.)

Хорошее понимание - достаточно веская причина, чтобы двигаться дальше!)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Градусы в радианы. Друзья, данный пост короткий, но для многих полезный. Как вы знаете, школьный курс математики знакомит нас с двумя основными мерами углов: градусной и радианной. С использованием этих мер решаются практически все задачи, как в математике, так и в физике.

Понимать как они взаимосвязаны между собой — крайне необходимо. Хорошо если вы легко оперируете вычислениями с использованием любой из этих мер. Но с лёгкостью это могут делать далеко не все.

Для осуществления расчётов (различных преобразований) с использованием радианной меры необходима хорошая практика. Например, хорошего навыка требует выделение периода из дроби при решении тригонометрических выражений. Для кого-то будет проще и понятнее решать задачи используя градусную меру. Для половины учащихся проблемы перевода градусов в радианы (или наоборот) не существует. Если же вам необходимо это повторить, то этот материал для вас.

Таблица соответствия угловых мер


Итак, базовая информация, которая необходима. Это соответствие нужно уяснить и запомнить раз и навсегда!


Примеры перевода радиан в градусы:

Если угол задан в радианной мере, и в его выражении имеется число Пи, то подставляем его градусный эквивалент, то есть 180 градусов и вычисляем:

Если же радианы даны в виде целого числа, дроби либо целого числа с дробной частью, то решаем через пропорцию. Про неё я писал в о задачах на проценты. Например, определим, сколько в градусной мере составляют 2 радиана и 5 радиан. Составляем пропорцию:


Примеры перевода градусной меры в радианную.

Переведём в радианы 510 градусов. Для данной операции необходимо составить пропорцию. Для этого установим соответствие. Известно, что 180 градусам соответствует Пи радиан. А 510 градусов обозначаем как х радиан (так как нам необходимо определить радианы), значит:

Переведём в радианы 340, 220, 1210 градусов:


Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду вам благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)

значение угла α
(градусов)

значение угла α
в радианах

(через число пи)

sin
(синус)
cos
(косинус)
tg
(тангенс)
ctg
(котангенс)
sec
(секанс)
cosec
(косеканс)
0 0 0 1 0 - 1 -
15 π/12 2 - √3 2 + √3
30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
75 5π/12 2 + √3 2 - √3
90 π/2 1 0 - 0 - 1
105 7π/12 -
- 2 - √3 √3 - 2
120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2
150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
180 π 0 -1 0 - -1 -
210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
270 3π/2 -1 0 - 0 - -1
360 0 1 0 - 1 -

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")

значение угла α (градусов) значение угла α в радианах sin (синус) cos (косинус) tg (тангенс) ctg (котангенс)
0 0
15

0,2588

0,9659

0,2679

30

0,5000

0,5774

45

0,7071

0,7660

60

0,8660

0,5000

1,7321

7π/18


В этой статье мы установим связь между основными единицами измерения углов – градусами и радианами. Эта связь нам в итоге позволит осуществлять перевод градусов в радианы и обратно . Чтобы эти процессы не вызывали затруднений, мы получим формулу перевода градусов в радианы и формулу перехода от радианов к градусам, после чего подробно разберем решения примеров.

Навигация по странице.

Связь между градусами и радианами

Связь между градусами и радианами будет установлена, если будет известна и градусная и радианная мера какого-нибудь угла (с градусной и радианной мерой угла можно ознакомиться в разделе ).

Возьмем центральный угол, опирающийся на диаметр окружности радиуса r . Мы можем вычислить меру этого угла в радианах: для этого нам нужно длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Этому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности , то есть, . Разделив эту длину на длину радиуса r , получим радианную меру взятого нами угла. Таким образом, наш угол равен рад. С другой стороны, этот угол развернутый, он равен 180 градусам. Следовательно, пи радианов есть 180 градусов.

Итак, выражается формулой π радианов = 180 градусов , то есть, .

Формулы перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Из равенства вида , которое мы получили в предыдущем пункте, легко выводятся формулы перевода радианов в градусы и градусов в радианы .

Разделив обе части равенства на пи, получаем формулу, выражающую один радиан в градусах: . Эта формула означает, что градусная мера угла в один радиан равна 180/π . Если же поменять местами левую и правую части равенства , после чего разделить обе части на 180 , то получим формулу вида . Она выражает один градус в радианах.

Чтобы удовлетворить свое любопытство, вычислим приближенную величину угла в один радиан в градусах и величину угла в один градус в радианах. Для этого возьмем значение числа пи с точностью до десятитысячных, подставим его в формулы и , и проведем вычисления. Имеем и . Итак, один радиан приближенно равен 57 градусам, а один градус – 0,0175 радиана.

Наконец, от полученных соотношений и перейдем к формулам перевода радианов в градусы и наоборот, а также рассмотрим примеры применения этих формул.

Формула перевода радианов в градусы имеет вид: . Таким образом, если известна величина угла в радианах, то умножив ее на 180 и разделив на пи, получим величину этого угла в градусах.

Пример.

Дан угол в 3,2 радиана. Какова мера этого угла в градусах?

Решение.

Воспользуемся формулой перехода от радианов к градусам, имеем

Ответ:

.

Формула перевода градусов в радианы имеет вид . То есть, если известна величина угла в градусах, то умножив ее на пи и разделив на 180 , получим величину этого угла в радианах. Рассмотрим решение примера.

    Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решениидифференциальныхи функциональных уравнений.

    К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

    Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M (x,y ). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α .

    Синусом угла α y точки M (x,y ) к радиусу r : sin α = y /r . Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M (x,y ).

    Косинусом угла α x точки M (x,y ) к радиусу r : cos α = x /r = x

    Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M (x,y ) к ee абсциссе x : tan α = y /x , x ≠ 0

    Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M (x,y ) к ее ординате y : cot α = x /y , y ≠ 0

    Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M (x,y ): sec α = r /x = 1/x , x ≠ 0

    Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M (x,y ): cosec α = r /y = 1/y , y ≠ 0

    В единичном круге проекции x , y точки M (x,y ) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.

    График функции синус y = sin x , область определения: x , область значений: −1 ≤ sin x ≤ 1

    График функции косинус y = cos x , область определения: x , область значений: −1 ≤ cos x ≤ 1

    График функции тангенс y = ttg x , область определения: x , x ≠ (2k + 1)π /2, область значений: −∞ < tg x < ∞

    График функции котангенс y = ctg x , область определения: x , x , область значений: −∞ < ctg x < ∞

Поделитесь с друзьями или сохраните для себя:

Загрузка...